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【摘要】 目的 拟从数学角度对角膜前后表面形状系数进行较为深入的探讨分析，旨在建立其数学模型。方法 对每位研究对象行Orbscan(Ⅱ)角膜地形图系统检测，采集角膜顶点、主子午线上距角膜顶点分别为1.5mm、2.5mm、3.5mm、4.5mm处的角膜前后表面曲率半径及厚度值;建立角膜前后表面形状系数数学模型。结果 角膜前表面形状系数数学模型：陡峭子午线：e2=1 - (15.61z -y2)/ z2，扁平子午线：e2=1 - (15.61z -x2)/ z2;角膜后表面形状系数数学模型：陡峭子午线：e2=1 - [12.254(z-0.553) -y2]/ (z-0.553)2，扁平子午线：e2=1 -[12.254(z-0.553) -x2]/ (z-0.553)2。前后表面两正交主子午线的形状系数SF分别为：0.04/0.12(陡峭子午线)和0.06/0.17(扁平子午线)。结论 角膜前后表面为近似椭球面的托力克面，由中央到周边，逐渐变平坦。
【关键词】 形状系数; 数学; 模型
【Abstract】 Objective To detect the initial characters of the shape factor on anterior and posterior corneal surface from a mathematical point of view. Methods Subjects were measured with OrbscanⅡcorneal topography system. Anterior and posterior corneal radius of curvature and depth of the points located on apex, 1.5mm, 2.5mm, 3.5mm and 4.5mm away from the corneal apex on principal meridians were collected. The mathematical models of the shape factor(SF), were constructed. Results The SF models of the steepest and flattest meridians on anterior corneal surface were e2=1 - (15.61z -y2)/ z2 and e2=1 - (15.61z -x2)/ z2 respectively. That on posterior corneal surface were e2=1 - [12.254(z-0.553) -y2]/ (z-0.553)2 and e2=1 -[12.254(z-0.553) -x2]/ (z-0.553)2 respectively. SF of the principal meridians on anterior and posterior corneal surfaces were0.04/0.12(the steepest meridian )and 0.06/0.17(the flattest meridian)respectively. Conclusion Anterior and posterior corneal surfaces are both toric similar to ellipsoid.The cornea becomes flatter from center to periphery.
【Key words】 shape factor; mathematics; model
数学模型是描述物体表面形状的数学表达式，也称为物体的几何模型，它是对物体进行分析、计算和绘制的根据，是研究曲面性质的工具，因而，本研究拟从数学角度对角膜形状特点进行较为深入的探讨分析，旨在明确其内在特征，为今后的科研、临床等多方面的工作提供科学的理论基础和指导。
1 对象与方法
1.1 对象选取
2004年2月—2005年1月于温州医学院附属第二医院眼科进行健康体检的正常成年人30例，男16例，女14例;年龄20~67岁，右眼受检。裸眼远视力均≥1.0，其中17只裸眼近视力<1.0，但矫正近视力均≥1.0，其余裸眼近视力均≥1.0;小瞳检影验光均无明显屈光不正，+0.50DS≤屈光不正度≤-0.25DS;均无角膜接触镜佩戴史，无眼外伤史，无眼部手术史，眼部检查无器质性病变;眼散光≤0.5DC，视为无散光。由于上述17例裸眼近视力≤1.0者，其矫正近视力≥1.0，裸眼远视力≥1.0，小瞳检影验光无明显屈光不正，且眼部检查无器质性病变及手术史，故认为主要是老视所致，所以仍属于本研究范围。
1.2 方法
1.2.1 主要仪器
美国BAUSCH & LOMB公司生产的OrbscanⅡ角膜地形图系统，型号：3.00E;PC/C4台式兼容机; vc++6.0编程软件包。
1.2.2 OrbscanⅡ角膜地形图系统检测
对入选者详细讲述本研究的目的、研究过程及主要步骤，对于理解本研究，并表示同意参加者，可作为研究对象。对每位研究对象行OrbscanⅡ角膜地形图系统检测，所有入选对象均由同一名专业技师进行检查，重复3次，选择最佳影像进行分析。
1.2.3 数据采集
采集角膜顶点及两条正交主子午线上距角膜顶点分别为1.5mm、2.5mm、3.5mm、4.5mm处的角膜前、后表面曲率半径、角膜厚度值。
1.2.4 坐标建立
建立笛卡儿空间三维直角坐标，以角膜前表面顶点为原点，眼球光轴方向为z轴，水平方向为x轴，垂直方向为y轴，并确定各点的空间坐标值。
1.2.5 角膜表面形状系数数学模型的建立
根据Bennett’s锥形切面公式y2=2r0z - (1-e2) z2推导出e2=1 - (2r0z -y2)/ z2，并根据本研究所采集的正常人群角膜顶点数据(曲率半径及厚度)，建立角膜前、后表面两正交主子午线的形状系数数学表达式。计算过程通过PC/C4台式兼容机编程，自动完成。
1.2.6 正常人角膜前表面形状系数及形状特点
将采集的两条正交主子午线上各点的坐标值代入所建立的形状系数数学表达式，分析正常人角膜前表面形状系数及形状特点。
1.3 统计学处理
本研究应用SPSS18.0及Office 2000 Excel统计软件包对所有数据行统计学分析及计算处理。
2 结果
2.1 角膜表面形状系数数学模型
2.1.1 角膜前表面
陡峭子午线：e2=1 - (2raz -y2)/ z2扁平子午线：e2=1-(2raz -x2)/ z2
2.1.2 角膜后表面
陡峭子午线：e2=1-[2rp(z-d0) -y2]/ (z-d0)2扁平子午线：e2=1-[2rp(z-d0) -x2]/(z-d0)2其中，ra为角膜前表面顶点曲率半径，rp为角膜后表面顶点曲率半径。
2.2 形状系数的具体数学表达式
本研究中，正视眼成人群体的角膜前表面顶点曲率半径ra为7.805mm，后表面曲率顶点半径rp为6.127mm，顶点厚度为553μm，该群体形状系数的具体数学表达式为：角膜前表面 陡峭子午线：e2=1-(15.61z-y2)/ z2扁平子午线：e2=1-(15.61z -x2)/ z2角膜后表面 陡峭子午线：e2=1-[12.254(z-0.553) -y2]/ (z-0.553)2扁平子午线：e2=1-[12.254(z-0.553) -x2]/ (z-0.553)2
2.3 角膜前后表面两正交主子午线的形状系数SF
将主子午线上各点的坐标值代入所建立的形状系数数学表达式，得到角膜前后表面两正交主子午线的形状系数SF。
2.3.1 角膜前表面
陡峭子午线：SF=0.04扁平子午线: SF=0.06
2.3.2 角膜后表面
陡峭子午线：SF=0.12扁平子午线: SF=0.17
3 讨论
角膜是一个非球面，因此存在着偏心的情况。偏心率e是用来描述一个曲面的曲率由顶点到周边的偏离程度，也就是曲率由中央到周边的变化趋势。在以锥形切面模型为基础建立的角膜模型中，偏心率是主要的形状参数之一，它代表了非球面性的程度。但在实际应用过程中，人们发现了一个比较明显的不足，就是e2有时会为负值，这看起来似乎是不合常理的，虽然不应该单纯从数学角度来解释。为了解决这一问题，人们采用了p、SF(shape factor)、Q等符号来替代e2：p=1-e2;SF=e2=1-p;Q=-e2 。形状系数SF是描述曲面的曲率由中央到周边变化趋势的主要指标，与曲面的形状特征息息相关：SF=0，为圆;01，为双曲线;SF=1，为抛物线。由模型显示的结果可知，本研究中正常人角膜前表面陡峭和扁平子午线的SF分别为：0.04和0.06，这与Patel[1]的结果一致。同时，该结果提示角膜前表面的子午线切面均为扁长椭圆形(Prolate ellipse)，即由中央到周边逐渐变扁平，曲率逐渐变小，这与Kiely等[2~4]多数学者的研究结论一致，从而证实了以角膜地形图为基础的计算方法的可靠性。 本研究中后表面陡峭和扁平子午线的SF分别为：0.12和0.17。迄今为止，有关角膜后表面SF的研究尚不深入，Patel等曾报道角膜后表面垂直和水平子午线的形状系数(P)分别为：0.64和0.52，即SF分别为：0.36和0.48，与我们的研究结果有一定的差异，考虑可能与数据测量方法、年龄、人种等不同有关。不过，与我们相似的是，他们的研究结果也支持了后表面为扁长椭圆形的观点。当然，后表面的非球面特性及形状特征有待于进一步探讨。本研究显示前后表面陡峭子午线的SF(0.04，0.12)小于扁平子午线(0.06，0.17)，即变平坦的趋势较扁平子午线缓慢，虽然该差异的显著性未进行统计学分析，但我们考虑该差异可能确实存在，而且Lam、Kiely以及Carney等也得出了相似的结论[2，4，5]，这可能与陡峭角膜面需要比扁平角膜面更加缓和地变平坦，才能保持角膜面及角巩膜连接处的平滑性，保证成像质量有关。角膜由中央到周边逐渐变平坦的形状特点，具有一定的矫球差作用，以保证视网膜的成像质量，且形状系数越接近0，其消球差作用越小，即角膜球差越显著。本研究中，正常人角膜前表面主子午线的SF值为0.04和0.06;后表面为0.12和0.17，可见后表面的SF值明显大于前表面，由此我们推测角膜后表面可能起着主要的矫球差作用，当然，这尚需进一步研究证实。综上所述，角膜面近似托力克面，它的曲率分布表现出了明显的规律性：由中央到周边，逐渐变平坦。此外，由数学角度对角膜形状特征进行分析准确而可靠。
【参考文献】
1 Patel S, Marshall J, Fitzke FW. Shape and radius of the posterior corneal surface. Refract Corneal Surg，1993， 9:173-181.
2 Kiely PM, Smith G, Carney LG. The mean shape of the human cornea. Optics Acta，1982，29:1927-1940.
3 Eghbali F, Yeung KK, Maloney RK. Topographic determination of corneal asphericity and its lack of effect on the refractive outcome of radial keratotomy. Am J Ophthalmol，1995，119:275-280.
4 Carney L G, Mainstone JC, Henderson BA. Corneal topography and myopia a Cross-Sectional study. Invest Ophthalmol Vis Sci，1997，38(2):311-320.
5 Lam AKC, Douthwaite WA. Application of a modified keratometer in the study of corneal topography on Chinese subjects. Ophthalmic Physiol Opt，1996，16:130-134.