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【摘要】 本文应用优先排队论的方法，以提高医院病床有效利用率为目的，在保证一定公平的前提下对病床的安排进行合理的规划，建立其数学模型，并通过实例证明新的方法比传统的方法更能提高医院的效率。
【关键词】 病床安排;数学模型;排队论;优先排队法
Queuing model of hospital beds arrangement
Guohua Chen,Qifei Liu,Juncheng Li,Bing Li,Dichen Yang
Abstract This paper, by means of priority queue theory, makes a reasonable arrangement of the sickbeds under the premise of ensuring fairness, aiming to improve the utilization ratio of the sickbeds in the hospital, and establishes its mathematical model. Also, the paper exemplifies and proves that this new method is better than the former one in improving efficiency.
Key words beds arrangement;mathematical modeling;queuing theory;priority queue method
Department of Mathematics, Hunan Institute of Humanities Science and Technology,Loudi 417000,China
Correspondence to:Guohua Chen,email:hnldcgh@163.com
医院是一个复杂的系统，患者从挂号、入院、手术等每一项服务，当现有需求超过提供该服务的现有能力时，排队现象就会发生，由于患者到达的时间和诊治患者所需时间的随机性，可控性小，排队几乎是不可避免的。当病床床位不足时，常出现患者因排队时间过长，使得其满意度下降，这对医院及社会带来不良影响。但是医院盲目增加床位，又将造成不必要的空闲，形成资源浪费，这也是医院管理者所力求避免的。那么如何在有限的床位上，合理安排住院，使患者排队等待时间尽可能减少，又使资源得到充分利用，提高服务质量，降低服务费用，这医院近远期规划的制订都有着十分重要的意义。为达到这一目的，许多学者对其进行了深入研究[1～5]。排队论(queuing theory)又称为随机服务系统理论，是通过研究各种服务系统在排队等待现象中的概率特性，从而解决服务系统最优设计与最优控制的一门学科，是运筹学的一个重要分支。1909年丹麦工程师爱尔朗(AK Erlang)发表的“概率与电话通话理论”，主要研究的就是服务时间和服务排队的现象，它开创了排队论研究的历史。该理论自产生后不断完善，特别是计算机技术的飞速发展，为其应用开拓了宽阔的前景，现已广泛应用于交通、医疗、商场购物、码头等行业排队过程。本文就某医院住院等待人数多，且滞留时间过长等问题，运用排队论的优先排序法，对医院病房重新进行配置，得到对病床安排的更优设计。
1 排队论模型
1.1 系统描述 以医院病床安排为研究对象，它具有如下特征。
1.1.1 输入过程 患者的到达是相互独立，相继到达的时间间隔是随机的;一定时间的到达服从泊松分布。
1.1.2 排队规则 FCFS：表示先到先服务 (传统方法);PR：表示优先权服务，两者均为等待制，即病人到达时，病床无空闲，则将需要等待。
1.1.3 服务时间 每一种疾病，其手术时间固定在每个星期的某几天进行。
1.1.4 服务台 这里服务台表示病床的床位数，各服务台的服务时间服从负指数分布，而工作相互独立。排队论的流程如图1所示。
图1 排队论的流程图
1.2 排队系统的组成与特征 医院等待时间服从多服务台排队模型(M/M/c/∞/∞模型)。假设系统有c个服务台，顾客流为泊松流，平均到达率为λ。各服务台的服务时间服从负指数分布，且工作相互独立，平均服务率为u。
1.2.1 评价指标 对于排队论模型一般可以从服务强度(ρ )、队长( L)、等待时间( W)、病床有效利用率( R)四个指标来判定模型的优劣。
1.2.1.1 指标一 服务强度。服务强度ρ=平均达到率/平均服务率=λ/μ，这个比值是衡量床位合理使用效率高低的重要指标。
1.2.1.2 指标二 队长。平均队长： 平均队长(Ls)指系统中的患者数(包括等待住院和正在住院的所有患者)，若不考虑正在住院的患者，则将系统中排队等待住院的患者称为队列长(Lq)，一般的情形， Ls或(Lq)越大，说明床位的周转率就越小。Ls=Lq+cp(1-PN),Lq=N n=c+1(n-c)Pn=(cp)c c(1-ρ)2P0[1-ρN-c-(N-c)(1-ρ)ρN-c]
1.2.1.3 指标三 等待时间。平均等待时间与平均逗留时间。平均等待时间(Wq)指一个患者在系统中排队等候的时间，在这里是指患者从门诊到入院的这段时间，显然患者希望等待时间越短越好。表达式为： Wq=Lq λ(1-PN)平均逗留时间(Ws)是指患者在系统中的停留时间(包括等待时间和住院时间)据心理学调查，就医问题中等待时间是影响患者选择就医与否的主要时间段。表达式为： Ws=Wq+1 μ
1.2.1.4 指标四 病床有效利用率。 R=(Zi-Xi+ki) (Zi-Yi)其中:ki表示患者住院需观察的时间;Zi表示患者出院时间;Xi表示患者手术时间;Yi表示患者入院时间。病床有效利用率实质也是病床工作效率的一种表现形式，本文中我们主要是利用术前观察时间的灵活性，对不同类型的患者设定一个最短观察天数ki，从而得到一个最短住院时间的期望值，也就是本指标中分子的值，而分母是患者实际住院的时间。我们就利用这样的一个比值来衡量模型的优劣。显然，比值越大越好。
1.2.2 评价指标标准
1.2.2.1 服务强度ρ 越小越好。
1.2.2.2 队长 越短越好。
1.2.2.3 等待时间 越短越好。
1.2.2.4 病床有效利用率 越高越好。
1.3 模型建立 传统方法的优先法则为FCFS法，但是由于医院对于某些类型的手术在时间上是有一定规定的，如其提前住院而需等待多天才进行手术将造成对病床的浪费，对医院及病人而言都将是一种损失。对传统方法进行改进，对不同时间段前来就医住院的患者，按其患病类型、手术时间特点在保证一定公平前提下以提高病床的有效利用率为目的对其进行有选择的优先排序。如某病观察时间为1天，手术时间只在星期三进行，若患者按照先来先服务的法则，可能在星期三或星期四就住院，这对病床是一种浪费，因此我们在星期二时优先考虑此类型患者进行住院，星期三及星期四等就优先其他患者。利用这种优先法则，对传统模型进行改进，可得该算法的流程图如图2所示。图2 优先法则算法流程图
2 应用实例
数据来源：2009年全国大学生数学建模大赛B题[6]。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS(First come, First serve)规则安排住院，各类病人的情况见2009年全国大学生数学建模大赛B题数据眼科手术特征如下：(1) 白内障手术较为简单没有急症，且只有周一、三做白内障手术;(2) 白内障双眼是周一先做一只，周三再做一只;(3) 白内障做双眼的病人比做单眼的多一些，大约占到60%;(4) 外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术;(5) 白内障病人的术前准备时间只需1天，其他非急症眼科疾病术前准备需要2天;(6) 白内障手术与其他眼科手术通常不安排在同一天。问题分析及求解：通过对2009年全国大学生数学建模大赛B题附录数据用excel进行处理得到该院在7月25号到9月10号之间的实际住院人数(接受服务)n1=427 ，门诊人数(等待服务)n2=403，平均到达率为λ=8.96，平均服务率为 μ=9.49。因此，可得服务强度：ρ=λ/μ=0.94。进一步根据上述指标公式，可得：Ls=15.67;Lq=13.49;Ws=12.3;R=0.54当前该住院部的队列长，病床有效利用率低，导致病人等待时间长。对全体非急症病人按照FCFS(First come, First serve)规则安排住院存在问题，如等待住院病人队列越来越长，医院方面的工作也变得较为混乱，资源得不到合理利用。因此，本文将对上述FCFS模型进行改进，根据不同类型的病人术前观察时间的不同以及手术时间安排的特点，对不同时间段前来就医住院的患者，按其患病类型、手术时间特点在保证一定公平前提下以提高病床的有效利用率为目的对其进行有选择的优先排序。根据病床有效利用率，可确定优先级如表1所示。 表1 优先级
3 结束语
本文对医院病床安排作了相关研究，在研究过程中运用优先排队论方法，对原有模型进行了改进，得到的结论在等待时间及效率上都有极大提高。本文的结论及方法在其他实际问题(如食堂、银行等排队服务情况)中也具有理论及实际参考价值。 基金项目：湖南省教育厅资助(数学建模教学体系改革实践研究2009)
【参考文献】
1 赵树进，杨哲，钟拥军.基于排队论的医疗工作流程重组.中国医院管，2003;4(23):10-12.
2 Peppard J.Rowland P.The Essence of Business Process Reengineering.New York：Prentice Hall Europe，1995：20-196.
3 陆斌杰.排队论模型在医院管理中的应用.中国数字医学，2006，1(1)：42-45.
4 彭迎春，董斯彬，常文虎.运用排队论模型测量医院门诊流程效率.中华医院管理杂志，2005;21(12): 806-809.
5 周庆逸，梁万年.以病人为中心优化门诊流程.中华医院管理杂志, 2004;20(18):491-493.
6 2009年全国数学建模试题 http://www.mcm.edu.cn/mcm09/Problems2009c.asp