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【摘要】 脉诊在中医理论与临床诊断中都占有很重要的地位，运用数学分析法判别脉象是近代中医学研究的重要课题之一。传统的脉象图形数学分析法为时域分析法，对时域内脉象图的特征形参数进行分析研究，寻找出了部分中医脉象的参数定义，解释了脉象三部九候与脏腑疾病的关系。鉴于脉象信号的周期特性，人们将频域分析法应用在脉图的研究上，利用脉谱图分析出了病人与正常人之间存在的显著差异。小波变换分析、多传感器信息融合技术、多尺度估计理论、时间-频率分析方法等，计算机技术基础上的现代数学分析工具和方法，都为中医脉象图形研究提供了新的途径。
关键词 中医 脉象图形 数学分析 时频分析法 小波变换
Mathematical analysis of traditional Chinese medicine pulse tracings
Xu Liming，Su Mingliang，Zhang Guangfu，et al.
The General Hospital of PLA，Beijing100700
【Abstract】 Diagnosis based on pulse tracings plays an important part both in theory and in clinical traditional Chinese medicine.It is one of research hotspots on modern traditional Chinese medicine by the way of mathematical analysis for pulse tracings.The traditional mathematical analysis of pulse tracing graph is a time domain analysis which found part parameters defining traditional Chinese medicine pulse tracings and interpreted the relation between pulse tracings and disease of entrails.As for the periodicity of pulse tracing signals，frequency domain analysis has been used to investigate pulse tracing graph and found the significantly difference between sick and normal persons.Modern tools and met
hods of mathematical analysis，such as wavelet transform，multiple sensors information coalescence technique，multiple scale estimation theory，time-frequency representation analysis，open a new avenue for researching graphs of traditional Chinese medicine pulse tracings.
Key words traditional Chinese medicine pulse tracing graph mathematical analysis time-frequency repˉresentation analysis wavelet transform
脉诊在中医“望、闻、问、切”四诊中占很重要的地位，通过脉诊可以了解患者脏腑气血的盛衰，可以探测病因、病位、预测疗效等。
几千年来，中医一直依靠主观指感来体会患者桡动脉所提供的脉象信息，在判别脉象的属性方面仅停留在一些形象化的概念上，例如替替然如珠之应指;如微风吹鸟背上毛厌厌聂聂;如捻葱叶等。临床脉诊时对脉象的认识是以医生指下的体会结合该医生对脉象概念的领会来加以鉴别与区分的。由于概念本身较笼统，具体的判别标准又很模糊，内中还掺杂了医生的判别经验及指面感觉等很多主观因素，因此中医脉象在教学中困难较大，临床脉诊时分歧较多。难怪《脉经》作者王叔和也不得不承认:“脉理精微，其体难辨……在心易了，指下难明”。
中医脉诊的客观化、现代化研究一直是近代中医学研究的重要课题之一。脉诊的现代化研究主要集中在脉象的客观化描述上，是在脉象仪描记出的脉图基础上，通过对脉图的系统分析、定型与鉴别，及脉图的生理病理机制的探讨，结合诊脉经验丰富的中医指感诊断，进行特征参数分析，以寻求脉象的客观化判断标准。早在1860年Vierordt创建了第一台杠杆式脉搏描记仪，国内在20世纪50年代 ˇ 基金项目:国家自然科学基金资助项目（编号:30371719）
初将脉搏仪引用到中医脉诊的客观化研究方面。此后随着机械及电子技术的发展，国内外在研制中医脉象仪方面进展很快，尤其是70年代中期，天津、上海、贵州、江西等地相继成立了跨学科的脉象研究协作组，多学科共同合作，研究成功了多种形式的脉象仪。并通过脉象图形展开了分析处理、寻找特征参数、识别脉象机制的研究。
脉学研究与整个中医学的发展息息相关，利用现代科学技术手段对脉象进行深入研究，具有重要的历史意义和现实意义。本文就对中医脉象数学分析法研究的进展和前景作一综述。
1 传统脉象图形数学分析方法
在对中医脉象图形分析研究的数学方法上，可分为时域分析法和频域分析法两大类，另外也有通过建立数学模型和估计参数的方法来判别脉象。时域分析法是中医脉象分析方面最常用最普遍的一种分析方法，因为这种方法比较直观，易被研究者接受。20世纪70～90年代中医脉象的研究者，主要是应用时域内脉象图的特征形参数分析法进行研究，并取得了较多的成果，不但寻找出了部分中医脉象的参数定义，而且还根据脉象的特征参数解释了脉象三部九候与脏腑疾病的关系。频域分析法是近代工程上处理周期振动信号常用的方法，鉴于脉象信号的周期特性人们将其应用于脉图的研究上，1978年贵州省脉象协作组运用计算机对弦脉、滑脉作了频谱分析，发现弦脉频谱特征类似于大量文献报道中的血管内肾上腺素能神经递质含量较高的情况，1981年上海脉象协作组运用频谱仪对妊娠滑脉、病理滑脉进行分析，发现这两种滑脉在频谱上区别很大。1983年台湾新竹交通大学与加拿大的同行合作，用频谱研究中医脉象，发现25Hz以上的脉谱图在病人与正常人之间存在显著差异。
1.1 脉象图形的时域分析法 时域分析法是依据脉象仪描绘的脉象图形上与时间有关的主波、潮波、重搏波的幅值、曲线下的面积、曲线与坐标的夹角以及脉波曲线的一阶导数等脉象的特征参数进行统计、多元分析判别。时域分析法结合中医师的切脉经验，在对脉象图进行大样本统计分析的基础上，找出典型脉图的特征参数范围，并确定出了相应的脉象脉型和证候、脏腑疾病之间的关系。由于各地研究是独立进行的，目前对脉象图形时域特征参数未形成统一的定义标准，所以各地学者根据自己的研究，给出了不同的特征参数定义方法和分析思路。具有代表性的是上海 中医药大学费兆馥 ［1］ 教授主编的《现代中医脉诊学》，利用脉象图形的时域特征参数及其微分特征参数，定义出了平、弦、滑、浮、沉、迟、数、濡、涩、结、代、促等传统脉象。李永光、张文娟 ［2］ 著的《现代脉象诊断研究》一书，分别根据左、右手寸、关、尺的脉象图形，定义出了传统中医三部九候即心、肝、肾、肺、胃等脏腑病证。
时域分析法是建立在对脉图的一个周期（单一波形）进行参数定义，并分析研究的。
1.1.1 运用脉图的特征参数分析方法判定传统脉象 图1 和图2是上海中医药大学费兆馥教授主编的《现代中医脉诊学》中，对脉象图形所作的特征参数和脉图的微分图。利用图1和图2所示脉图参数定义，对传统脉象分析判断示例如下表1所示。
国外的学者也进行了类似的研究，日本的吉村正治得出的健康组与几种疾病的脉图参数见表2。
表1 常见脉象的时域参数(略)
表2 常见脉象的时域参数(略)
1.1.2 脉图的三部九候病证诊断 ［3］ 哈尔滨华宇医用电子仪器有限公司李永光先生，利用自行研制的脉象仪进行了大样本左右手的寸、关、尺的脉象图形分析研究。依据传统中医脉象三部九候诊断方法，通过脉象图形的时域特征 参数，以左手寸脉定义心病、左手关脉定义肝病、左手尺脉 定义肾病;右手寸脉定义肺病、右手关脉定义胃病（脾）、右手尺脉定义肾病（三焦）等脏腑病证。其运用的脉象图形特征参数定义如图3。
下面分别叙述以左手寸、关、尺和右手寸、关、尺脉象图形时域特征参数值定义的脏腑病证。见表3～8。
表3 左手寸脉脉图参数与心病证的关系(略)
表4 左手关脉脉图参数与肝病证的关系(略)
表5 左手尺脉脉图参数与肾病证的关系(略)
表6 右手寸脉脉图参数与肺病证的关系(略)
表7 右手关脉脉图参数与胃病证的关系(略)
表8 右手尺脉脉图参数与肾病证的关系(略)
1.1.3 脉图的血流动力学参数分析 我国学者张大祥将高等数学引入了动脉搏动图的研究之中。何素荣、刘世斌 ［4］ 在对脉搏图形曲线进行时域分析的基础上，应用生物力学、生物数学、生物物理学，建立了脉图曲线方程，并结合医学生理学经典的Frenk-Starling心脏定律中的两条心脏活动的生理曲线，建立了心室收缩压力及心室舒张末期容积两条曲线的数学方程组，将脉图曲线方程组与Frenk-Starling曲线方程组进行曲线拟合，推导出心脏力学参数，并结合血管力学及血流动力学，推导出血管力学及血流动力学参数，统称为“心血管血流动力学”（Cardiovascular Hemoˉdynamics），从而建立了脉搏血流动力学检测方法。利用该方法研制的“脉图检测监护仪”可以对缺血性心脏病、高血压、心肌病、心律失常等心脏疾病进行判定和监护，为脉图的生理理论分析建立了基础，但是这种方法局限于对心血管系统疾病的分析判断，与中医脉象辨证理论差别较大。图4是其对脉图特征参数的标志方法。
1.2 脉象图形的频域分析法 由于脉象图形是呈周期性变化的振荡波，并且包含了不同的频率分量，因而中外脉象研究者在20世纪80年代后应用频域分析法对中医脉象图进行了分析研究。对信号的频域分析主要是应用傅立叶（Fourier）变换对这一重要的数学分析工具，对其频谱、相 位、能量密度、带宽、频率函数等特性进行研究。
频域分析法是建立在对函数空间中的周期信号进行分析的。采用频域分析法人们得出了一些研究结果。但是由于脉象图形常常发生瞬态突变，是非平稳信号，并不满足傅立叶变换所要求的平稳假设和叠加原理。所以至今为止脉象图形的频域分析法研究受到很大限制，只有一些局部的成果。朱安娜 ［5］ 等采用模糊数学的方法，将频谱分析用于脉图的分类。他们将测得的脉图的周期τ分成N等份，则有τ=N·△t，△t=τ/N，每一等份对应的脉幅为f（t k ）。采用傅立叶变换公式:g n =1/τ∑ n-1 k=0 f（t k ）e -j2nπtk/τ ·△t=1/N∑ n-1 k=0 f（t k ）e -j2nπk/N 当τ、N确定后，将脉图上得到的f（t k ）代入上式得g n ，然后按|g n |的值左频谱图，各阶谐波依次分布于n=1，2，3……的频段上。再由谐波幅值中取平均值g 1 、10×g 5 、∑g n 、10×g n 作为所测脉图的模糊子集。文章将108例分属平、滑、弦脉的频域特征参数求得这三类脉的标准模糊子集为:A A =（0.54，0.47，0.34，0.85）（平脉）A B =（0.50，0.071，0.49，0.034）（滑脉）A C =（0.72，0.14，0.24，0.17）（弦脉）
例如一实测脉图的频域特征参数模糊子集为:F=（0.62，0.53，0.26，0.63）按模糊理论中的择近，计算与各标准子集的贴近度，求出:（A A ，F）=0.645 （A B ，F）=0.505 （A C ，F）=0.68三者中（A C ，F）最大，按择近原则，判定为弦脉。据文章介绍，采用本方法对108例脉图进行计算得出的结论中平脉的符合率为84.8%，滑脉的符合率为87.5%，弦脉的符合率为100%。加拿大滑铁卢大学L.Y.Wei对两组共36名正常人，11名病患者（含心脏病、急性肝炎、胃肠病），分别测其左右两手的关脉脉图。对所测的脉图信号作快速傅立叶变换（FFT），求得
其功率谱，通过分析正常人和病患者脉谱的分布规律及表述方法，探讨与中医脉象理论的关系。为了区分生理和病理脉的谱分布规律，作者采用了谱能量比SER（f）的表述方法，设f为特定的频率，得出以下公式:SER（f）=E 1 （f）/E 2 （f）式中:E 1 （f）是f以下综合谱的能量;E 2 （f）是f以上综合谱的能量。
研究发现f=10Hz时，即SER（10）时的数据符合正态分布。同时对实验组中229例正常人测试数据统计得出SER（10）的平均值M=610，标准差δ=510，下限值为M-δ=610-510=100。而对照组中病患者测试数据的SER（10）均低于100。另外该研究通过正常人与病人脉的功率谱曲线对照分析，认为正常人的脉谱曲线占优势的成分不超过25Hz，如果脉谱图显示占优势曲线成分超过25Hz，则是疾病与该取脉位置有关的硬指标。
2 应用现代数学分析方法研究中医脉象信号
2.1 中医脉象信号分析的特殊性 临床上中医通过对患者桡动脉的寸关尺、浮中沉脉象，判别其阴阳、表里、寒热、虚实、气血的盛衰、邪正斗争的趋势、脏腑的动态变化等。中医脉象所反映的病理信息是以中医基础理论及基本概念为基础的，是用来鉴别整体的动态性质的。由此可见，以中医理论为基石，在整体构思的基础上，应用整体概念，综合、定性分析研究是中医脉象研究的基本特点。
中医脉象是一种受多种因素影响的非平稳周期信号，脉象图形的频率分布常常随时间迅速变化，存在着许多模糊的边界，脉象形成的机制目前尚未完全明了。用传统时域内的几何分析、数学解析、特征参数解算，频域内的傅立叶分析技术显然不能满足对脉象信号分析研究的需要。特别是中医脉象诊断是根据人体左右手桡动脉的寸、关、尺以及寸上、尺下脉搏信号进行整体、综合辨证的，而且中医诊脉的另一个很重要的特点是定性分析，所以如何从多学科、多途径、多指标获取脉位数形势的变化信息，确立脉象图形在多种因素影响下的模糊边界的阈值限，应用近代数学、物理学、生理学、生物工程学、电子计算机、频谱分析等科学手段，进行多学科相互交叉来研究中医脉象的机制。将中医脉象的脉形、脉位、脉数、脉势从定性到定量，使其理论客观化、数量化，同时把这些信息转变为中医脉诊理论的辨证概念，进而融合四诊合参，进行科学、规范的辨证诊断。所以在脉象信号的数学方法研究中，跳出心血管系统，四诊合参，进行科学、规范的辨证诊断。所以在脉象信号的数学方 法研究中，跳出心血管系统机械模型分析的圈子，以中医理论为基石来分析研究，给中医脉诊理论赋予现代科学的意义，是中医脉象研究的特点及难点。
2.2 时间-频率分析法 时间-频率分析法 ［6］ 简称时频分析法（Time frequency representation，TFR），是把一维信号或系统表示成一个时间和频率的两维函数。时频平面能够描述出各个时刻的谱成分。时频分析方法的早期研究者Wingner提出了Wigner分布，在该时频能量分布的时频平面上能够发现很多有趣的特性。时频平面的概念同样被Gaˉbor用于相应的Gaussian函数。常使用的短时傅立叶变换（Shot time fourier transform，STFT）即是Gabor’s信号表达的一个广义情形。这种分析工具在具有线性特性信号领域的处理中被广泛使用。小波变换（Wavelet transform，WT）是20世纪80年代后发展起来的一种重要的新变换分析方法，它在时频平面上具有可变的时间和频率分辨率（具有自适应性、可自动调节时频窗），即在高频区域具有好的时间分辨率，在低频区域具有好的频率分辨率。小波变换这种独特的能力使得它成为一种分析非平稳信号的有力工具，被称为“数学显微镜”。
时频分析方法的研究分析作用主要分为三类:（1）用于动态谱分析，看它能否比传统谱图解释出更多的信息;（2）通过时频分布间接计算出某些希望得到的特征参数;（3）根据时频分布实现信号的重构、压缩编码及模式识别等;（4）可实现多传感器数据、多源信号的融合技术，以及动态系统状态的多尺度估计、随机建模、强跟踪滤波、线性逆问题求解等。时频分析法，特别是小波变换与多尺度估计理论，都是近几年才发展起来的新型数学分析方法，现已在很多领域特别是在生物医学领域的信号分析及图像处理中广泛应用，该方法也必将成为中医脉象图形、信号分析研究中非常有力的数学工具。
2.2.1 小波变换分析法 小波变换是一种新的变换分析方［7］ ，它克服了STFT分析的缺点，是目前世界上公认的最新的时间-频率分析工具。它的主要特点是通过变换能够充分突出被分析信号某些方面的特征，在很多领域中得到了成功的应用，特别是小波变换的离散数学算法已被广泛用于许多问题的变换研究中。
小波分析非常适用于对半平稳信号和具有分形结构的瞬态信号的研究，它可将非平稳信号分解成各种小波的线性组合，并且利用小波变换的特有的低通滤波特性，可使得信号噪声大大减弱，提高测量值的信噪比，是一种对客观现实提供“最优描述”的工具。
在生物医学领域采用小波变换工具的时频分析法已取得了突破性的成果 ［8］ ，并已在实际临床中广泛应用。如在心电图（Electrocardiogram，ECG）中对P波、QRS波群的分析中应用小波分析法，解决了信号的非平稳问题，降低了信号的检测难度，为临床判断提供了可靠的重要结论。特别是通过应用WT的有效滤波去噪功能，较好的获得了通常ECG观察不到的能量集中在50～250Hz、幅度小于25μV的心室晚电位VLPs，大大的提高了ECG的谱图分辨率。在脑电图（Electroencephalogram，EEG）的分析应用中，成功地采用由Mallat提出的基于三次多项式样条小波变换方法，从背景EEG中提取出了只有几个微伏、混于噪声下的诱声信号EP，为临床诊断神经系统的紊乱情况提供了基础。小波分析变换还是心音（Phonocardiograms，PCGs）信号处理、胃电图（Electrogastrogram，EGG）的分析、肌电图（Elecˉtromyogram，EMG）的分析、耳声反射（Otoacoustic emissions，OAEs）、胎音信号分析、多普勒血流信号分析中得到了广泛地应用，发挥了重要的作用。
2.2.2 多尺度估计理论 ［9］ 在自然界和工程系统中，许多现象或过程都需要通过多传感器同时进行观测，将信号数据进行融合处理，在多尺度空间上进行重构或分解。对多尺度系统理论研究基于以下三个基本出发点:（1）所研究的现象或过程具有多尺度特征或多尺度效应;（2）无论现象或过程是否具有多尺度特性，通常，观测信号是在不同尺度（或分辨级）上得到的;无论现象或过程是否具有多尺度特性，观测信号是否在不同尺度中分辨级上得到的，利用多尺度算法往往能获得更多信息，从而降低问题的不确定性及复杂性。这就为研究传统意义下的信号处理理论和方法提供了全新的思路。
多尺度估计理论（Multiscale estimation theory，MSET）将传统动态系统的估计理论、辨识理论、小波分析理论、随机过程和数理统计理论结合一体，从一定意义上讲，MEST希望把基于模型的动态系统分析方法同基于统计特性的信号多尺度变换和分析方法相结合，把小波变换作为连续在不同尺度上模型和信号的桥梁，将动态系统的模型信息引入多尺度系统理论，开辟了多尺度系统理论新的研究方向。通过对已获取信号的细尺度重构和粗尺度分解，建立相应尺度的一组模型，对已获取信号在不同尺度上进行有效的描述和分析，得到多尺度下估计和辨识结果，进一步将这些结果进行综合处理，提高了融合效率，改善了融合性能。
近年来多传感器信息融合技术越来越被研究者关注，并被广泛的应用于不同领域，如军事目标识别、战术指挥控制、工业过程控制、气象预报、机器人控制、交通管制等。特别是在医疗诊断中的应用，对诸如癌症等复杂病例诊断过程中，不同专业的医师，如肿瘤医师、病理医师、放射医学专 家、内科医师使用信息融合技术进行综合诊断，在X射线照片、核磁共振（NMR）和声学成像中也越来越多地应用到基于所有可能获得信息融合的精确诊断。
3 结束语
中医脉象诊断是一个基于对人体桡动脉在浮、中、沉条件下，获取寸、关、尺、寸上、尺下脉搏信号，并对其形、位数、势进行综合判断的过程，同时人体脉象由于受多种因素影响，其图形是一种噪声干扰较大的瞬变非平稳信号，所以对中医脉象图形的数学分析研究，也必须建立在现代数学分析工具及计算机技术的基础上。小波变换分析、多传感器信息融合技术、多尺度估计理论、时间-频率分析方法等，都为我们提供了有力的工具和方法，但是需要中医、数学、计算机、信号分析等学科的专家们共同努力为之付出。（本文图片见封三）
参考文献
1 费兆馥.现代中医脉诊学，北京:人民卫生出版社，2003，108-112.
2 李永光，张文娟.现代脉象诊断研究，北京:中医古籍出版社，2003，73-81.
3 越恩俭.中医脉诊学，第2版（修订版）.天津:天津科学技术出版社，2001，51-54.
4 何素荣，刘世斌.临床脉图诊断学，北京:人民军医出版社，2003，72.
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8 柴新禹，吴朝霞.时频分析方法及其在医学信号处理中的应用.生物医学工程学杂志，2001，18（1）:138-144.
9 文成林，周东华.多尺度估计理论及其应用，北京:清华大学出版社，2002，79-80.
（收稿日期:2004-06-14） （编辑秋 实）
作者单位:100700北京军区总医院