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【摘要】 目的 本文介绍了一种基于改进Powell算法模态脑部医学图像配准方法。方法 采用最大互信息（MMI）配准测度和PV插值算法对多模态图像配准。结果 改进Powell算法方法具有可以有效地避免优化算子陷入局部极值、算子收敛速度快等优点。结论 MRI/CT和T1/PD图像配准结果证明基于改进Powell算法的多模态配准方法的有效性。
【关键词】 最大互信息；图像配准；PV插值法；Powell优化算法
Multimodality medical images registration based on expanded Powell algorithm
LIAO Jian-min，LI Guo-li.School of Electrical Engineer and Automation，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China
［Abstract］ Objective In this paper，an approach of multimodality medical images registration based on expanded Powell algorithm is proposed.Methods Multimodality images registration was applied to maximize mutual information and PV interpolation algorithm.Results The method has many advantages such as to avoid optimizer trap into local maxima，quick convergence.Conclusion The matching results of MRI/CT and T1/PD demonstrate that registration dependent on expanded Powell algorithm is a robust，fast registration method.
［Key words］ maximal mutual information;image registration;PV interpolation;Powell algorithm
医学图像配准给医疗诊断和治疗提供了更加全面的图像信息。医学图像配准方法主要分为两大类［1］：基于特征的方法［2，3］和基于灰度的方法。前者利用从待配准图像中提取的特征计算出空间变换参数，特征可以是标记点、分割区的质心、轮廓、表面、容积，或是它们的组合；后者直接对图像的灰度值操作而无需预先提取图像特征。
目前，基于灰度的方法中，最大化互信息法［4，5］是最流行的方法。其理论依据是：两幅图像所反映的信息必具有某种内在的关联（互信息），随着两幅图像对齐程度的变化，这种关联也随之变化。当互信息达到最大时，则认为两幅图像已配准，互信息法已经成为多模态配准的事实标准。罗述谦等［6］利用互信息和Powell优化算法实现了多模态图像的配准，并且达到了亚像素精度。刘哲星等［7］利用同样方法完成了时间序列图像的自动配准。但是他们采用的Powell优化算法容易使函数陷入局部极值。彭景林等［8］将遗传算法和Powell优化算法相结合混合算法有效地避免了局部极值局部极值问题，混合算法结构复杂不易编程实现，且遗传算法计算量大、耗时。为加快配准速度同时避免局部极值，本文提出了一种改进的Powell优化算法，实验结果表明该方法可以有效性地避免算法陷入局部极值和加快配准速度。
1 互信息的定义
最大互信息法(MMI)来源于信息理论，互信息表示的是一个系统包含另一个系统信息的多少。两幅图像间的互信息可以表达为［2］：
MI（A，B）=∑a，bpAB(a，b)logpAB(a，b) pA(a)·pB(b)（1）
其中，pA(a)、pB(b)、pAB(a，b)分别为边缘概率分布和联合概率分布，在医学图像中的物理意义是：pA(a)表示图像A中像素灰度值为a的像素个数与总像素个数的比，同理pB(b)表示图像B中像素灰度值为b的像素个数与总像素个数的比，pAB(a，b)则表示在图像A中像素灰度值为a且在图像B中像素灰度值为b的像素个数与总像素个数的比。
基于互信息测度的配准方法，其目的在于寻求某种变换Tα使MI（A，B）最大，α是变换参数。求α*：
α*=argmaxαI(a，b)（2）
MI(α)=∑f，rpFR，α(f，r)log2pFR，α(f，r) pF，α(f)pR，α(r)（3）
pFR，α(f，r)=hα(f，r) ∑f，rhα(f，r)，pF，α(f)
=∑rPFR，α(f，r)，pR，α(r)
=∑fpFR，α(f，r)（4）
Studholme指出选择不同的视域互信息最大化过程会导致误配准，提出的归一化互信息可以弥补这缺陷：
NMI(A，B)=（H(A)+H(B)）/H(A，B)（5）
2 插值方法
插值算法有最近邻法(nearest neighboring interpolation)、线性插值法(linear interpolation)、PV(Partial Volume)插值、薄板样条插值(interpolation using thin-plate splines)、窗口函数插值法等。样条插值和窗口函数插值法效果，但是计算量大，通常不用做配准过程中的插值，而是得到配准变换参数后的做最后插值。本文中只对前三种方法进行讨论。
NN算法简单，计算速度快但存在图像质量不高的缺点。线性插值算法引入新灰度值使联合直方图分散不利于基于最大互信息。PV插值算法在各灰度统计结果上每次累加的是分数权值，使得对于小的空间变换α，分数权值变化得比较缓慢，因此直方图和互信息是α的连续函数，变化平滑。图1是一幅MR图像与本身采用不同的插值算法进行空间变换后的互信息值。图3中左上角为中心旋转1800-1800的互信息曲线，右上角是NN插值算法的互信息曲线（0.50-0.50）；左下角是线性插值算法的互信息曲线（0.50-0.50），右下角是NN插值算法的互信息曲线（0.50-0.50）。互信息配准算法的健壮性同插值技术的选择有很大的关系［9］，插值得到的曲线越平滑，在解决优化问题的时候就越不容易陷入局部极值从图1可以看出PV插值算法获得的曲线最为平滑，因此本组实验采用PV算法。
3 改进算法
3.1 优化方法 图像配准的过程本质就是一个多参数优化问题，由于图像空间的数据量非常大，每变化一次变换参数α，想要穷尽搜索以得到优化结果，其计算量是巨大的，以至于无法实际应用。本文采用不用计算函数梯度的改进的Powell优化算法［10］，此算法应用方向集的概念，可以把求解多元函数的极值问题简化为一维极值问题。
Powell首先构造出两两共轭的方向（沿某一个方向的一维搜索，与沿另一个方向进行的下一轮搜索，不会相互干扰，这样的方向称为共轭方向），该方法把优化过程分成若干个阶段，每一个阶段(一轮迭代)由n+1次一维搜索组成。在算法的每一个阶段中，先依次沿着已知的n个方向搜索，得到一个最好点，然后沿本阶段的初始点与该最好点连线的方向进行搜索，求得这一阶段的最好点，再用最后的搜索方向取代前n个方向之一，开始下一阶段的迭代。其具体构造过程如下：（1）首先将方向集U初始化为坐标轴单位向量：ei，i=1，2，…，n;（2）然后重复下列（3）～（7）步骤，直到函数值不再减小；（3）记起始位置为P0；（4）对i=1，2，…，n，将Pi-1移至目标函数沿ei方向的极小值点，并记该点为P1；（5）对i=1，2，…，n，将赋ei+1给ei；（6）置en=Pn-P0；（7）将Pn移至目标函数en在方向的极小值点，并记该点为P0。
3.2 改进的优化算法 实际计算中不能保证函数达到极小值点。因为每一循环都用Pn-P0“挤掉”e1，所以新的向量系（ei，I=1，…，n)有可能线性相关，例如，某一循环中，如果λ1≈0，
Pn-P0=∑n i=2λiui (平均方向Pn-P0)(6)
则这样，e2，e3，…，PN-P0是线性相关的。当发生这种情况时，以后的搜索就在n维的子空间中进行。最后的求解就不正确。解决的办法是Pn-P0不是挤掉e1。而是挤掉er，而λr≠0。一般取最大下降方向。这是因为最大下降方向er已经在平均方向PN-P0中得到最充分的体现，经过如此修正就可以有小的避免算法陷入局部极值。
仔细分析发现Powell优化算法最终目的是产生共轭方向组，根据Powell算法的基本思想［11］导出的基本定理可知，第一轮中e1，e2，…，en是多余的；第2轮中e2，e3，…，en是多余的;第三轮中e3，e4，…，en;…。是多余的。这些多余的一维搜索完全可以去掉，去掉这些多余搜索，算法的优良特性不变。这就是我们改进算法的出发点［12］。原来的优化算法每轮搜索n+1次，一共n轮，总共搜索n(n+1)次。新的算法搜索次数为1+2+3+…+n=n(n+1)/2，因此计算时间减少了1/2。新的算法设计见图2。
4 实验结果与分析
为验证有效性，我们在主频为2.60 GHz、内存256 MB的Celeron的主机上采用改进的优化算法进行了两组实验，并与传统的Powell优化算法进行比较。两组实验分别是MRI/CT图像配准和同层T1/PD图像配准，MRI与CT图像分辨率426×426，T1/PD图像分辨率221×257。
实验中的对CT图像和PD图像做中心旋转变换（变换范围0～150）和x、y方向的平移变换(x方向20～5个像素，x方向20～5个像素)，每组实验的实验次数为15，旋转角度和平移量依次递减。实验结果见表1。 表1 实验结果实验结果表明，改进的Powell优化算法用新产生的向量代替下降最大的向量不但可以有效地避免陷入局部极值，而且因为去掉了中间搜索环节，可以提高配准速度，是一种快速、有效的配准方法。两组实验的配准结果见图3、图4。（图中特意用灰度值为100的像素表示图像的变换）。
5 小结
图像配准过程就是一求极值问题，不用计算函数梯度Powell优化算法，计算速度快，但容易陷入局部极值；混合算法等可以有效地避免陷入局部极值，但是算法复杂，计算量大，不易实现。本文阐述了一种基于改进的Powell优化多模态医学图像配准方法，该方法基本思想是新产生的方向代替最大下降方向并去掉多余搜索。在该方法中，图像互信息作为配准测度，脑部MRI/CT图像、T1/PD图像配准实验证明了该方法可以有效性地避免算法陷入局部极值，而且配准速度更快是一种稳定、快速的配准方法。
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11 陈开周.最优化设计方法.西安：西北电讯工程学院出版社，1985，206.
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作者单位：230009 安徽合肥，合肥工业大学电气与自动化工程学院（△生物医学工程系研究生）